通识课程介绍 | 《数学精神与方法》

武汉大学数学系基础数学专业本-硕-博学历，理学博士学位。现任武汉大学教授，有二十多年从事数学教学和研究的工作经历。2004年，在武汉大学教务部支持下，开设武汉大学通识课程“数学精神与方法”，担任主讲至今。2008年，发表科研代表作“无穷维Moore-Penrose广义逆的有限维逼近框架”，荣获2010年武汉市自然科学优秀论文一等奖。

武汉大学数学与统计学院教授。本科毕业于北京大学数学系，硕士、博士均毕业于新加坡国立大学。研究主要集中于偏微分方程数值解，偏微分方程最优控制，反问题理论和计算，无穷维或非光滑优化，有限元分析以及计算流体力学。

武汉大学数学与统计学院教授。2003年2月在华中师范大学获得理学博士学位，2003年3月-2005年2月在中国科学院武汉分院物理与数学研究所从事博士后研究工作，2005年3月至今在武汉大学数学与统计学院工作，2010年评为教授。曾多次前往香港中文大学，奥地利科学院RICAM研究所，罗马尼亚Iasi大学从事访问研究工作。迄今为止，已主持4项国家自然科学基金项目，多篇文章发表于SAIM Journal on Control and Optimization、Ann. Inst H.Poincare Anal. Non Lineaire、ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations、Journal ofOptimization Theory and Optimization、Journal ofScientific Computing等期刊。

1995年毕业于武汉大学数学系统计与概率专业，获理学学士学位，同时免试保送为本专业的硕博连读的研究生，2000年6月毕业于武汉大学数学与计算机科学学院，获得理学博士学位，毕业后留校从事概率论与数理统计方面的科研和教学工作。2002年10月被评为副教授。主讲过本科生的《数理统计》、《概率论与数理统计》、《多元统计分析》、《数量方法》、《回归分析》等课程和研究生的《随机分形》。在攻读学位和留校工作期间，一直从事随机过程和随机分形相关课题的研究。

武汉大学外国语言文学学院讲师，主要研究方向为英美文学与文化，在 《数学精神与方法》团队中负责数学中的文化艺术及翻译工作。

“数学精神与方法”的教学内容有十二讲，每一讲用3学时讲授和讨论（包括适当时机的翻转课堂和小班讨论），从内容上可以分成六个部分。

第一讲：经典数学的统一（“万物皆数”信条和第一次数学危机）。

第二讲：经典数学的统一（续）——“数形合一”的实现（分析的严格化与第二次数学危机）。

第三讲：迭代产生的混沌和分形，及其在认识论上的意义。

数学化的世界观和方法论，“万物皆数”调查。

★

授课方式

及创新

★

①信息化手段：PPT + 数学试验实体模型，逐步建设成Mooc模式。

②混合式教学（36学时）：五位老师各讲一部分（自己所擅长的内容），也可以由一位老师主持播报（其他老师共同编辑制作教学材料）。

③自愿发言式讨论（小班） + 翻转课堂 + 对抗性辩论（12学时）：由老师事先布置讨论题目，情况允许时，多位老师一起参加评判，鼓动辩论，文理交融，能者为师。

★ 成绩评定 ★

翻转课堂和小班讨论的表现50% + 考试成绩50% = 总评成绩

★

参考书目

（部分）

★

1． A.D.亚历山大洛夫等，《数学，它的内容方法和意义》，孙小礼译，科学出版社，2001。

2． M.克莱因，《古今数学思想》，北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1980。

3.  Timothy Gowers，普林斯顿数学指南，齐民友译，科学出版社，2016。

4． G.弗雷格，《算术基础》，王路译，商务印书馆，2002。

5． 彭加勒，《最后的沉思》，李醒民译，商务印书馆，1995。

6． 李文林，《数学史概论》，高等教育出版社，2000。

7． 张顺燕，《数学的美与理》，北京大学出版社，2004。

8． 谭永基、俞文魮，《数学模型》，复旦大学出版社，1997。

9． 雷功炎，《数学模型八讲》，北京大学出版社，2008。

10． 张锦文，《公理集合论导引》，科学出版社，1999。

11． J.R.曼克勒斯，《拓扑学基础教程》，罗嵩龄 许以群 徐定宥 熊金城 译，科学出版社，1987。

12． M.A.Armstrong, Basic Topology, McGraw-Hill, 1979。

13． L.A.斯蒂恩 主编，《站在巨人的肩膀上》， 胡作玄等 译，上海教育出版社，2000。

14． E.马奥尔，《无穷之旅》，王前 武学民 金敬红 译，上海教育出版社，2000。

15. J.迪厄多内，《当代数学——为了人类心智的荣耀》，沈永欢 译，上海教育出版社，1999。

16． R.柯朗、H.罗宾 著，《什么是数学》，左平 张饴 译，复旦大学出版社，2005。

17.  胡作玄，《数学是什么》，北京大学出版社，2008。

18． 张景中，《数学与哲学》，中国少年儿童出版社，2003。

19． 邓东臬、孙小礼、 张祖贵，《数学与文化》， 北京大学出版社，1990。

20.  齐民友，《数学与文化》，大连理工大学出版社，2008。

Q:文科的同学，尤其是不选修高数的同学学习这门课程会有困难吗？他们能从这门课里学到什么特殊的东西吗？

A：你的问题让我感觉文科生对这门课有畏难情绪。明确告诉同学们，不带畏难情绪地看待数学是学好各种数学课的第一秘诀，如果有秘诀的话。

事实上，“数学精神与方法”设计之初就非常注意课程的普适性，我是在这样的出发点设计课程的。十多年的教学实践表明，文科学生这门课的成绩并不一定比理科生差。学习态度和用功程度是决定这门课成绩的主要因素。

从这门课能学到什么特殊东西？简单地说，可以学到传统的高数课、专业数学课和学术研讨课都无暇阐释的数学观和数学精神，在此需要强调，本课程学习过程非常重要，它会提升你的数学成熟性，以及数学感觉和兴趣。

Q:我们都知道在数学世界里有许多类似七桥问题，挂谷问题等奇妙的探讨，它们看似离我们很远，其实来源于生活，请问老师是否有自己比较感兴趣的理论或话题想向同学们推荐呢？

A：我当然有自己感兴趣的理论和话题，比如我的科研主攻方向，但它们并不一定契合我上面提到的设计理念。你提到的七桥问题和挂谷问题都是有趣问题，但没有选进课程内容中。我们时间有限，有更具说服力的简单范例可用。

“数学精神与方法”的教学内容共设计了如下六章（共十二讲，每一讲用 3 学时讲授）， 其中范例的选择都是带有很强的目的的：

第一章（3 学时）数学是什么？

第二章（9 学时）有限无限纵横谈

第三章（9 学时）运算与迭代的威力      

第四章（9 学时）拓扑眼光看世界      

第五章（3 学时）数学的应用  

第六章（3 学时）总结

Q：高中时期的数学是许多文科生的梦魇，我们常常容易陷进学方法套方法的怪圈，看似学了很多，实则只是照葫芦画瓢，还画不像。老师认为这样的现象还会出现在大学数学中吗，通识课的内容又对这样的现象会有怎样的改变呢？

A：你说的现象在大学数学教学过程中也在所难免，这反映了我们的大学生（还有中学生和公众）对数学的认识和观念大多处于“盲人摸象”的状态，使他们对数学的鉴赏力和兴趣并没有随着数学知识的学习而得到及时的引导和提升。

按照公众的观点，数学是一门不怎么变化的学科，其基础就是算术、几何、代数和微积分中所教的许多公式。然而，数学远远超出这些。它正以极快的速度在发展变化，同时传播到许多新领域，产生出大量新的应用。引导这种发展变化的不是单纯的公式和计算，而是永无止境的模式搜索；公式和计算只是模式的一种或几种归约表现形式而已。数学家最擅长的就是发现并揭示隐藏的模式，每一个主要的发现都开辟新的领域，其中充满进一步开发的潜力。搜索并揭示隐藏模式的过程是在交织着许多对立面的斗争中进行的， 这些对立面是：具体与抽象、特殊与一般、有限与无限、离散与连续、算法的与存在的、随机的与决定论的、精确的与近似的，等等。正是这些对立面的相互作用、反复综合并在更高层面上达成统一，在不停地推动着数学的创造、更新和应用，在生动地体现着数学理论的思想脉搏和蓬勃生机。因此，这些对立统一因素构成了数学科学发展的基本要素，理应在数学教育中作为通识知识加以系统地阐释。

但是，我们的中学和大学所强调的数学内容（针对非数学类的学生）都只选取了少数几条经典线索，并将它们设计成各门课都纠缠于知识细节和演算技巧的教学体系。这样的体系加强了这样的趋势，那就是每门课程的主要目的是给下一门课程做准备；它有效地防止日常的直观沿着数学的多条根茎发展起来，使得学习数学丧失了趣味性和启发性，在很大程度上成为将来才得益的没完没了的练习。这种传统的数学教育模式，从课程内容到课程体系，从教学方法到考核方式都有多方面的弊端，的确已经到了需要加以改进和变革的时候了。 在我们的这个课程中，我们将关注和考察精挑细选的若干数学范例。通过这些范例，我们将带领同学们领略现代数学中那些重要而普适的科学观念、思维模式、基本结构，以及数学的统一性和美；我们将向大家揭示数学发展之基本要素的相互作用与综合统一，引领大家感受数学思想的脉搏与价值；从而，我们希望本课程达到了阐释数学方法的本质与精神是什么，数学的威力源自何处，以及为何它有如此无与伦比的广泛应用背景的目的。这也许对于改变同学们“盲人摸象”的状态有帮助。